Исследование статистических зависимостей для контактных систем типа W UMa
Исследование статистических зависимостей для контактных систем типа W UMa
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ....................................................................
..............................3
§1 Классификация тесных двойных
систем.............................................
§2 Алгоритм
ZET.........................................................................
................
§3 Применение метода ZET……………………………………………..
ВЫВОДЫ.....................................................................
..................................
ПРИЛОЖЕНИЕ.................................................................
............................
ЛИТЕРАТУРА.................................................................
..............................
ВВЕДЕНИЕ.
Изучение фотометрических и абсолютных элементов тесных двойных систем,
находящихся на разных стадиях эволюции, представляет большой интерес
с точки зрения статистического исследования этих систем, изучения
строения Галактики, а также теории происхождения и эволюции одиночных и
двойных звезд. Одной из важных характеристик тесных двойных систем
является отношение масс мене массивной компоненты к более массивной
q=m2/m1 . Отношение масс позволяет уточнить эволюционный тип звезды,
определить форму внутренней критической поверхности (т.н. полости Роша), а
также положение первой точки Лагранжа. Для контактных систем, исследуемых в
данной работе, у которых обе компоненты близки друг к другу и практически
наполняют пределы полости Роша, отношение масс q, кроме всего прочего,
определяет конфигурацию всей системы (зависящую от большой полуоси A,
отношения масс q, угла наклона i).
Однако, отношение масс q известны точно для очень малого числа систем,
имеющих данные спектроскопических наблюдений. Фотометрические же данные,
полученные, как правило, с помощью метода синтеза кривых блеска, не
являются надежными, так как этот метод позволяет получить точное решение
лишь для симметричных кривых блеска. Так, например, у контактных систем,
исследуемых в данной работе, вследствие близости компонент друг к
другу, кривые блеска сильно искажены газовыми потоками, пятнами и
околозвездными газовыми оболочками.
Для статистических исследований представляет значительный интерес
хотя бы приближенная оценка относительных и абсолютных параметров тех
затменных систем, для которых элементы спектроскопической орбиты неизвестны
и прямое вычисление их абсолютных характеристик не представляется
возможным.
М.А. Свечников и Э.Ф. Кузнецова в [2] для такой приближенной оценки
использовали статистические соотношения (масса - радиус, масса - спектр,
масса - светимость и др.) для компонент различных типов, а также ряд
других статистических зависимостей. Из-за того, что использованные для
определения элементов статистические зависимости носят приближенный
характер, следует ожидать, что для многих систем найденные в [2]
приближенные элементы окажутся неточными и даже ошибочными. Это
обусловливает необходимость теоретических подходов к оценке параметров
затменных переменных звезд. В изученной статье [1] отношение масс
компонент q и спектральный класс главной компоненты Sp1 для звезд типа W
UMa определяется с помощью статистического метода ZET, разработанного в
Международной лаборатории интеллектуальных систем (Новосибирск) Н.Г.
Загоруйко. Метод ZET применялся для восстановления глубины вторичных
минимумов звездных систем типа РГП (ошибка прогноза составила 5-8%),
спектров звезд этого типа, спектров класса главной компоненты контактных
систем типа KW и отношения масс. Точность восстановления доходила до 10%
и только для q этот результат был завышен. Была составлена таблица, в
которую включены q, полученные разными авторами, для некоторых отдельных
систем значения q имеют очень большие расхождения. Поэтому цель данной
работы улучшить качества восстановления q методом ZET.
§1. Классификация тесных двойных систем.
В 1967-69 гг. М.А.Свечниковым была разработана классификация
тесных двойных систем, сочетающая достоинства классификации
Копала(1955), учитывающей геометрические свойства этих систем (размеры
компонент по отношению к размерам соответствующих внутренних критических
поверхностей (ВКП) Роша) и классификации Крата(1944, 1962 гг.), основанной
на физических характеристиках компонентов, входящих в данную систему. Эта
классификация удобна при статистических исследованиях тесных двойных звезд,
и, будучи проведена по геометрическим и физическим характеристикам
компонентов затменных систем (отношению размеров компонентов к размерам
соответствующих ВКП, спектральным классам и классам светимости
компонентов), оказывается в то же время связанной с эволюционными стадиями
затменных систем, определяемыми их возрастом, начальными массами
компонентов и начальными параметрами орбиты системы.
Как было показано в работе М.А.Свечникова (1969), подавляющее
большинство изученных затменных переменных звезд (т.е. тех систем, для
которых определены фотометрические и спектроскопические элементы)
принадлежит к одному из следующих основных типов:
1. Разделенные системы главной последовательности (РГП), где оба компонента
системы являются звездами главной последовательности, не заполняющими
соответствующие ВКП, обычно не приближающиеся к ним ближе по размерам чем
ѕ
2. Полу разделенные системы (ПР), где более массивный компонент является
звездой главной последовательности, обычно далекой от своего предела Роша,
а менее массивный спутник является субгигантом, обладающим избытком
светимости и радиуса и близким по размерам к соответствующей ВКП.
3. Разделенные системы с субгигантом (РС), у которых, в отличии от ПР-
систем, спутник-субгигант, несмотря на большой избыток радиуса, не
заполняет свою ВКП, а имеет размеры, значительно меньшие, чем последняя.
4. "Контактные" системы, в которых компоненты близки по своим размерам к
соответствующим ВКП (хотя и не обязательно в точности их заполняют).
Эти системы подразделяются на два разных подтипа:
а) Контактные системы типа W UMa (KW), имеющие, в большинстве случаев,
спектры главных компонентов более поздние, чем F0. Главные (более
массивные) компоненты у этих систем не уклоняются значительно от
зависимостей масса-светимость и масса-радиус для звезд главной
последовательности в то время, как спутники обладают значительным избытком
светимости (подобно субгигантам в ПР и РС-системах), но не обладают
избытком радиуса (вследствие чего они располагаются на диаграмме спектр-
светимость левее главной начальной последовательности, примерно параллельно
ей);
б) Контактные системы ранних спектральных классов (КР) (F0 и более
ранние), где оба компонента, близкие по размерам к своим ВКП, тем не
менее, в большинстве случаев не уклоняются значительно от зависимостей
масса-светимость и масса-радиус для звезд главной последовательности.
5. Системы, имеющие хотя бы один компонент, являющийся либо сверхгигантом,
либо гигантом позднего спектрального класса (С-Г). Такие системы
сравнительно многочисленны среди изученных затменных переменных
вследствие их высокой светимости и необычных физических характеристик, но
в действительности они, по-видимому, должны составлять лишь небольшую долю
от общего числа тесных двойных систем.
6. Системы, у которых, по крайней мере, один компонент лежит ниже главной
последовательности и является горячим субкарликом или белым карликом (С-
К). Сюда же были отнесены и системы, один из компонентов, которых является
нейтронной звездой или "черной дырой", а также системы с WR-компонентами.
Подобная классификация была выполнена ранее М.А.Свечниковым (1969) для
197 затменных систем с известными абсолютными элементами. Она могла быть
более или менее уверенно проведена также для затменных переменных с
известными фотометрическими элементами, у которых можно каким-либо образом
оценить и отношение масс компонентов q=m2/m1 и тем самым определить
относительные размеры соответствующих ВКП. Так, из примерно 500 затменных
систем с известными фотометрическими элементами, имеющихся в карточном
каталоге М.А.Свечникова, надежную классификацию можно было провести для
367 систем. В остальных случаях при отнесении системы к тому или иному типу
имеется некоторая степень неуверенности, обычно из-за отсутствия или
ненадежности имеющихся данных о величине q.
§2 Алгоритм ZET.
Алгоритм ZET предназначен для прогнозирования и редактирования
(проверки) значений в таблицах "объект-свойство". В таких таблицах строки
соответствуют рассматриваемым объектам, а столбцы есть значения
характеристик, описывающих эти объекты. Таким образом, на пересечение
строки с номером "i" и столбца с номером "j", будет находиться значение j-
ой характеристики для i-го объекта. Клетку таблицы, расположенную на
пересечение i-ой строки и j-го столбца, обозначим символом Aij. Пусть
значения Aij неизвестно. Можно достаточно уверенно предсказать это
значение, если использовать имеющиеся в таблице закономерности. В реальных
таблицах многие столбцы связаны друг с другом. Есть в таблицах и строки,
похожие друг на друга по значениям своих характеристик. В алгоритме ZET
выявляются такие связи, и на их основе выполняется предсказание искомого
значения. Предсказание осуществляется на основе принципа локальной
линейности. Это одна из основных идей, позволившая построить эффективный
метод и получать хорошие результаты. Она заключается в том, что
предсказание выполняется не на всей информации, имеющейся в таблице, а
только на той ее части, которая наиболее тесно связана со строкой и
столбцом, в которых этот пробел находится. Другими словами, в алгоритме
ZET, в отличии от многих других алгоритмов заполнение пробелов,
реализуется "локальный" подход к предсказанию каждого пропущенного
значения. Для вычисления этого значения строится своя "предсказывающая
подматрица", содержащая только имеющую отношение к делу информацию. В
подматрицу отбираются в порядке убывания сходства строки, т.е. строки,
самые похожие на строку, содержащую интересующий нас пробел, а затем для
выбранных строк отбираются также в порядке убывания сходства столбцы
"самые похожие" на столбец, содержащий этот пробел.
| | | | | | |
| | | | | | |
| | |Фai|Aai| | |
| | |k |j | | |
| | |Aal|Aal| | |
| | |k |j | | |
| | | | | | |
| | | | | | |
Предсказание элемента Aij по k-му столбцу Aij(k) делается на
основание гипотезы о линейной зависимости между столбцами, при этом
сначала вычисляются коэффициенты линейной регрессии Вjk и Сjk ,и по
ним находится элемент Aij(k):
Aij(k)=Bjk*Aik+Cjk.
После того, как будут сделаны предсказания Аij(k) по всем р столбцам,
не имеющим пропуска в i-ой строке, вычисляется средневзвешенная
величина элемента:
Aij(стб)=([pic]Aij(k)*Qkj)/([pic]Qkj)
Вклад каждого столбца (строки) в результат предсказания зависит от их
"компетентности" Q, являющейся функцией двух аргументов: "близости"
между j-м и k-м столбцами (i-ой и l-ой строками) и "взаимной заполненность"
этих столбцов (строк). "Близость" представляет собой степенную функцию
модуля коэффициента линейной корреляции (Rkj)а (или (Ril)а). "Взаимная
заполненность" k-го и j-го столбцов (Lkj) равна числу непустых пар
элементов этих столбцов Alk и Alj для всех l от 1 до m. Отсюда:
Qil=(Ril)a*Lil
Qkj=(Rkj)a*Lkj .
Выбор показателя степени а осуществляется следующим образом, при каждом
из последовательных значений а (из некоторого заданного диапазона
amin
столбца матрицы A(i,j). При каждом a вычисляется расхождение между
фактическими и предсказанными значениями. Для предсказания Aij выбирается
то из значений a, при котором была получена лучшая средняя точность dj
предсказания этих известных значений. Легко увидеть, что, чем больше
(Rkj)a, тем с большим весом будут учитываться сведения от самых "похожих"
столбцов и тем сильнее будут подавляться подсказки от менее "похожих".
Аналогичная процедура построения формулы и оценки точности вычисления
всех элементов i-ой строки выполняется для проверки возможности
предсказания Aij как элемента строки.
Aij(стр)=([pic]*Qil)/([pic])
Данные в матрице A(i,j) предварительно нормированы так, чтобы элементы
каждого столбца изменялись в пределах от 0 до 1. После получения оценок
предсказания по строкам и столбцам сравнивается точность, с которой удалось
предсказать известные элементы i-ой строки di и j-го столбца dj.
Окончательно для предсказания выбирается либо Aij(стб), либо
Aij(стр), в зависимости от того, где точность d оказалась выше. Эта
точность рассматривается в качестве ожидаемой ошибки предсказания Aij.
Итак, в алгоритме ZET можно выделить основные этапы:
1. Проводится нормировка столбцов таблицы исходных данных по дисперсиям.
2. Выбирается пробел Aij, находящийся на пересечение i-ой строки и j-го
столбца.
3. При определение сходства столбцов производится их предварительная
нормировка к интервалу [0,1], и для строк и для столбцов степень сходства
определяется на основе евклидова расстояния
rев=[[pic]]1/2 ,
где Xj, Yj - соответственно значения j-го свойства объектов X и Y.
Использование такой меры сходства и обуславливает применимость алгоритма к
таблицам данных, представленных в сильных шкалах, для которых операции,
использованные в формуле, являются допустимыми преобразованиями. По
расстоянию rев выбирается заданное число объектов-аналогов, а для них-
свойств-аналогов.
4. В матрице, состоящей из отобранных строк, столбцы нормируются к
интервалу [0,1] и выбирается заданное количество столбцов, наиболее
сильно связанных с j-м.
5. По исходной таблице формируется "предсказывающая" подматрица,
составленная из элементов, находящихся на пересечении i-ой и ближайшей к
ней строк с j-м и ближайших к нему столбцами.
6. Столбцы полученной подматрицы нормируются к интервалу [0,1].
7. Из уравнений линейной регрессии для k-го элемента Aij вычисляются
"подсказки" Aij от строк и (или) столбцов "предсказывающей" подматрицы.
8. Находится коэффициент а, определяющий степень учета взаимного сходства
столбцов (строк) подматрицы при вычислении итогового значения
прогнозируемого элемента Aij.
9. Процедура 2-8 повторяется для каждого пробела.
10. Значения, вычисленные в режимах заполнения в зависимости от входных
условий, заносятся в таблицу сразу же после вычисления каждого из них или
только после окончания прогнозирования значений для всех пробелов таблицы.
11. Пункты 1-10 повторяются. Количество повторений задается во входных
условиях.
Когда сформирована группа объектов-аналогов и найдены в этой группе
наиболее информативные свойства для интересующего нас объекта, т.е.
сформирована "предсказывающая" подматрица, алгоритм переходит к этапу
построения формулы для прогнозирования.
Иначе говоря, алгоритм ZET можно разбить на две части:
1. Выбор из исходной таблицы наиболее связанной с интересующим нас объектом
Aij информации-построения "предсказывающей" подматрицы.
2. Определения параметров формулы для возможно лучшего предсказания
значения рассматриваемого элемента Aij с одновременной оценкой ожидаемой
точности прогноза.
В алгоритме ZET, как было отмечено выше, предусмотрен "персональный"
подход к прогнозированию каждого интересующего нас элемента таблицы. Для
каждого элемента Aij подбирается своя предсказывающая подматрица, в
которой содержатся только строки, наиболее похожие на i-ую и столбцы,
наиболее связанные с j-м и по этой "персональной" информации подбирается
персональная формула для прогнозирования элемента Aij. Для того, чтобы при
определении сходства объектов (строк) "вклад" каждого показателя
(свойства) не зависел от единиц измерения и был сопоставим с вкладами
других показателей, производится нормировка каждого столбца
относительно его дисперсии. Если есть необходимость учесть
неравнозначность вкладов свойств в меру сходства, т.е. если из каких-либо
соображений известны значимости, "веса" свойств, то их можно учесть,
умножив отнормированные данные на эти веса.
Если пробелов в данных много, вряд ли можно надеяться заполнить их
все сразу с хорошей точностью. Поэтому организуется многоступенчатая
процедура заполнения. Она состоит в том, чтобы на первом этапе заполнить
при минимальном размере подматриц наиболее надежные элементы, т.е. те,
которые удается предсказать с заданной точностью. Затем поставить эти
значения в таблицу и, уже считая их известными, вновь обратиться к
программе с теми же условиями на требуемую точность и размер подматриц.
Добавленная в таблицу информация может дать возможность предсказать еще
ряд значений.
Процесс повторяется при одних и тех же условиях до тех пор, пока не
прекратится предсказание новых элементов. Тогда можно повторять цикл
заполнения.
§ 3 Применение метода ZET для восстановления физических
параметров контактных систем.
Для того, чтобы правильно спрогнозировать неизвестные элементы,
необходимо решить ряд существенных вопросов:
1. Какие характеристики звезд могут быть наиболее информативны с
точки зрения предсказания отношения масс q;
2. Можно ли ожидать достаточно хороших результатов;
3. Если да, то как организовать решение, чтобы заполнить больше
пробелов с приемлемой точностью;
4. Можно ли доподлинно проверить "качество" вычисленных значений.
Для решения первой проблемы - отбора наиболее информативных для
предсказания q характеристик звезд было выполнено редактирование всех
известных значений первого столбца, содержащего отношение масс q
контрольной таблицы размерностью 15х14, куда вошли 15 систем типа W UMa и
14 их параметров из [3] (известных абсолютно точно), на предсказывающих
подматрицах 6х6, 5х5, 4х4. Объектами в данной таблице были контактные
системы типа W UMa, а в качестве свойств были взяты следующие параметры:
отношение масс компонент q, спектральный класс главной компоненты Sp1,
масса главной компоненты m1, абсолютная болометрическая величина более
массивной компоненты M1bol, большая полуось орбиты в долях радиуса Солнца
A, угол наклона орбиты i, период затменной системы P, средний радиус
главной компоненты в долях большой полуоси орбиты r1, средний радиус
второстепенной компоненты в долях большой полуоси орбиты r2, относительный
блеск более массивной компоненты L1, отношение поверхностных яркостей
более массивной компоненты к менее массивной J1/J2, радиус главной
компоненты в долях радиуса Солнца R1, радиус второстепенной компоненты в
долях радиуса Солнца R2, абсолютная болометрическая величина менее
массивной компоненты M2bol.
По результатам редактирования была составлена таблица, где
показано участие отдельных параметров в предсказании отношения масс
компонентов q. Из таблицы видно, что параметры P, r1, L1, J1/J2, R1 и
M2bol плохо (т.е. редко) участвуют в предсказании и вклад их достаточно
мал, поэтому их можно отбросить. Так как параметры r2 и R2 связаны с q
эмпирическими формулами: r~rкрит(q) и lg(m)=-0.153+1.56*lg(R), то их
также представляется целесообразным отбросить. Таким образом, остается
таблица 15х6, в которую входят 15 объектов и 6 параметров: q, Sp1, M1bol,
m1, A, i. На этой таблице было выполнено редактирование первого столбца,
содержащего отношение масс q и второго столбца, содержащего спектральные
классы главных компонент Sp1. Получены средние ошибки редактирования
соответственно d=13.555% и d=6.6791%. Поскольку средние ошибки
редактирования малы, то можно сделать вывод, что отобранные параметры
позволяют с достаточно высокой степенью точности восстановить неизвестные
значения q.
Далее, из [2] были взяты 295 систем типа KW, для которых
выписаны указанные выше 6 параметров, и составлена рабочая таблица 295х6 ,
где на месте предсказываемых элементов стоят пробелы. В качестве известных
значений q были взяты значения из [3 - 16]. Всего получилось 72
известных значения q, опираясь на которые программа будет предсказывать
остальные значения.
Для оценки целесообразности применения метода ZET при
прогнозировании недостающих значений q на рабочей таблице 295х6 было
выполнено редактирование 1-го столбца при предсказывающей подматрице
5х5. Средняя ошибка редактирования d=11.837%. Таким образом, осталось
70 известных значений q при 225 неизвестных. Как видно из результатов
редактирования значения q могут быть восстановлены по имеющимся в таблице
данным с достаточно высокой степенью точности.
Для дополнительной проверки эффективности метода было проведено
сравнение 72 известных значений отношений масс со значениями, вычисленными
методом ZET. В процессе вычисления использовался режим редактирования,
так как предполагалось, что наблюденные данные 72 звезд получены с
достаточной степенью надежности. Было выполнено редактирование 72 известных
элементов на предсказывающих подматрицах 4х4, 5х5, 6х6 и составлена
промежуточная таблица полученных ZET-методом q и соответствующих ошибок
редактирования. Получив данные редактирования, мы перешли
непосредственно к предсказанию неизвестных значений q. Предсказание
велось при границах изменения от 4 до 6 ближайших строк и столбцов при
формирования предсказывающих подматриц, т. е. для каждого
предсказываемого значения программа перебирает все варианты
предсказывающих подматриц от 4 до 6 (4х4, 4х5, и т.д. до 6х6) и выбирает
значение с наименьшей ожидаемой ошибкой прогнозирования. Было
установлено, что режим ZM1 занижает ошибку предсказания примерно в два
раза. Для этого мы сравнили прогнозируемую и фактическую ошибки (~8% и ~18%
соответственно). Аналогично установили, что режим ZM3 несколько
завышает ошибку предсказания (~20% и ~22%). В режиме ZM3 ожидаемое
отклонение (min, при различных a, средняя величина отклонения
предсказанного значения от истинного всех элементов строки (столбца),
связанных с прогнозируемым элементом) не является реальной ошибкой
предсказания, исходя из этого мы предложили свой метод определения
ошибки, разделив ожидаемое отклонение на предсказанное значение и
умножив на 100%. Как показало редактирование, режим ZM1 производит более
точное предсказание, чем режим ZM3 (хотя значения предсказаний довольно
близки: фактическая ошибка в ZM1 ~17%, в ZM3 ~20%), поэтому предсказание
велось параллельно в режимах ZM1 и ZM3 для контроля над ошибкой.
Получили следующие результаты прогнозирования: из 225 восстановленных
систем типа W UMa 218 получены с ошибкой (5%, 7(10%. По сравнению с
данными наблюдения реальная ошибка превышает полученную методом в 3 раза.
Следовательно, метод занижает ошибку прогноза. Часть полученных значений q
приблизительно совпадает, а для некоторых имеются существенные отличия.
Это связано: 1) с недостатком наблюдательных данных; 2) с ненадежностью
исходных данных; 3) с неполнотой выборки; 4) с некорректностью подсчета
ошибки данным методом.
ЛИТЕРАТУРА:
1. Svirskaya E.M., Shmelev A.Yu. “Astronomical and astrophysical
transactions”
2. Свечников М.А., Кузнецова Э.Ф. “Каталог приближенных
фотометрических и абсолютных элементов затменных переменных
звезд”, Свердловск, Изд-во Уральского Университета, 1990.
3. Свечников М.А. ”Каталог орбитальных элементов, масс и
светимостей
тесных двойных звезд”, Иркутск, Изд-во Иркутского Университета
, 1986
.
4. Загоруйко Н.Г. “Эмпирическое предсказание”, Новосибирск , Изд-во
Наука, 1979.
Загоруйко Н.Г., Елкина В.Н., Лбов Г.С., “Алгоритмы обнаружения
эмпирических закономерностей”, Новосибирск, Изд-во Наука,
1985.
-----------------------
1 . . . k j . . . n
1
:
i
l
:
m |
